258第7章极值理论、分位数估计与风险值
这基本上与正态性假定下得到的结果相同.条件分布的1%分位数为
0.0003687-(3.3649/v5/3v0.000386=-0.0475943
对应的VaR为475943美元.与情形1的结果比较,我们可以看出利用自由度为5
的学生な分布时的厚尾效应,当尾概率变小时增加了VaR.在 S-plus中,自由度为
m的学生t分布的分位数可以由命令xp=qt(P,m)得到,例如,xp=qt(0.01,5.23)
多个周期
假定在h时刻,我们希望计算对数收益率为r的资产的k期VaR.感兴趣的
变量是预测点h处的k期对数收益率(即rA[?=7n+1+…+アA+k).如果收益率
r2服从方程(7.5)和(7.6)中的时间序列模型,则可以通过第2章和第3章中讨论
的预测方法来得到rh在给定信息集FA下的条件均值与条件方差
1.期望收益率与预测误差
可以利用第2章中ARMA模型的预测方法来得到条件均值E(rA?A).具体
来讲,我们有
=rA(1)+…+rh(k)
其中r()是收益率在预测原点h时的1步向前预测.这些预测可以利用2.6.4节
讨论的递推方法来计算.利用方程(75)中ARMA模型的MA表示
rt=/+at+yhiat-1+y2at-2+
我们可以将预测原点h处的1步向前预测误差定义为
()=ァh+1ーTa()=ana+L+v1OAh
1h+1
可参见方程(233)以及相应的预测误差.K期期望收益率的预测误差n[?是r
在预测原点h处的1步到k步向前预测误差的和,可以写为
(1)+cA(2)+…+ea(k)
+1+(aA+2+のA+)+…+ンah+
ah+k+(1+1)an+k-1+…+
2)ah+1
(7.7)
其中
2.期望波动率
k期收益率在预测原点h处的波动率预测是在给定F下en?的条件方差
利用对i=1,…,k,E+;的独立性假定且a4=+i∈+;,我们有
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7.3WaR计算的计量经济方法259
A(eA)=a(aa+k)+(1+の)2(an+-1)
k)+(1+の)2a(k-1)+
h
(7
其中v(2)表示给定条件下x的条件方差,の2(の是预测原点h处的1-步向前
波动率预测.如果波动率模型是方程(7.6)中的 GARCH模型,那么这些波动率预
测可以由第3章讨论的方法递推得到
作为说明,考虑特殊的时间序列模型
rt=A+at, at=ote
6
则对所有的i>0,有=0.k期收益率在预测原点h处的点预测为A?=k
对应的预测误差为
eA?=aa+k+aA+k-1+…+ah+1
因此,k期收益率在预测原点h处的波动率预测为
Var(eA?lF)=a(の
利用3.5节中 GARCH(1,1)模型的预测方法,我们有
ti +B
()=a0+(a1+B1)o2(1-1),7
7.9
利用方程(7.9),对于=0的情况下,我们有当>0时,
Var(eh
?FA)
an
k
7.10)
其中=a1+B1<1.如果对某个1>0有≠0,则可以利用(78)式中
Var(enFA)的一般递推公式.如果2是高斯的,则rnA?在给定F下的条件分
布是均值为k,方差为Var( en kllfh)的正态分布.VaR计算中需要的分位数很容
易得到,如果a2的条件分布是非高斯的(比如是学生な分布或广义误差分布),可
以用模拟的方式得到多期的VaR
例7.3(续)对于IBM股票的日对数收益率,考虑例73中的高斯AR(2) GARCH
(1,1)模型.假定我们感兴趣的是在预测原点9190(即1998年12月30日)开始
的15天持有期的VaR.我们可以通过给定P190下,r1901l=∑m10,并
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260第7章极値理论、分位数估计与风险值
利用拟合的模型来计算15天对数收益率的条件均值和方差.由方程(7.9)递推得
到条件均值为0.00998,条件方差为0.0047948.那么条件分布的5%分位数为
0.00998-1.6449v0.0047948=-0.1039191.因此,一个1千万美元的多头头寸
的15天持有期的VaR为VaR=1000000×0.1039191美元=1039191美元
这个数值低于287700×15美元=1114257美元.由这个例子进一步表明,风险
度量制使用的平方根时间序列法则仅仅对运用特殊的白噪声 IGARCH(1,1)模型成
立.当条件均值不为0时,必须采取恰当的步骤计算k持有期的VaR
7.4分位数估计
分位数估计提供了VaR计算的非参数方法.除了假定该分布在预测阶段仍然
成立以外,它不对组合的收益率作具体的分布假定,目前有两种类型的分位数方法:
第一种方法是直接利用经验分位数;第二种方法是运用分位数回归
7.4.1分位数与次序统计量
假定收益率的分布在预测期间与样本期间是一样的.可以利用收益率r的经
验分位数来计算VaR.令1,rn表示样本期间内组合的收益率.样本的次序统
计量是这些值用递增次序排列后的值.我们利用记号
r(1)≤T(2)≤?≤r
表示这个排列,并将ro称为样本的第个次序统计量.特别地,r)表示样本极小
值,r(n)表示样本极大值
假定收益率是独立同分布并有一个连续分布的随机变量,其分布密度函数(pdf
为f(a),cdf为F(x).那么由统计文献(例如Cox和 Hinkley,1994,见附录2),对次
序统计量ro,其中1=n,0
结果令ェn表示F(x)的pー分位数『即x=F-1(p).假定分布密度函数f(x)
在n处不等于?即f(x)≠?,则次序统计量rn是渐近正态的,且均值为xn
方差为p1-p)/nf2(xp.也就是说
7.11)
nf(ap)
根据前面的结果,可以利用r来估计分位数xn,这里1=np.实际中,感兴
趣的概率p可能并不满足np是一个正整数.在这种情况下,可以利用简单的插值
来得到分位数估计.更具体地,对非整数mp,令1和2表示与p最邻近的两个正
整数,满足1
个相合估计.由定义,p1
P2-P1
a2)+2
7.12
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