中考数学如何考查数学推理.doc

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如何考查数学推理?
我们(学数学的或不学数学的)都相信:数学使人聪明。这句话的含义常常是指学习数学可以使人具有很强的逻辑性。所以,对于推理证明能力的考查一直都是数学考试中的重点。不过,新课程实验以来,人们对此的认识发生了一些变化,比如:就基础教育而言,相对于数学证明的学习而言,推理过程的学习更为重要。因此,对学生推理能力的考查就开始受到关注了。
一、合情推理
问题1 如图所示,用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面,如下图所示:第n个图形中需用黑色瓷砖 块.(用含n的代数式表示)?
说明:本题是一个探索规律的问题,其所考查的正是基于归纳方法的合情推理活动能力。
问题2 小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途自行车出了故障,只好停下来修车。车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快了骑车速度继续匀速行驶。下面是行驶路程S(米)关于时间t(分)的函数图像,那么符合这个同学行驶情况的图像大致是------( )
说明:本题是一个种较为新颖的推理题,推断是用图像表达的信息与用文字表达的相关信息之间的一致性。因此,它是考查基于文字信息和图像信息理解基础之上的推理能力,而不是我们所熟悉的几何证明能力。
问题3. 已知:如图,E、F、G、H按照AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n是正整数)的关系,分别在两条邻边长为a、na的矩形ABCD各边上运动。设AE=x,四边形EFGH的面积为S。
(1)当n=1,2时,如图,观察运动情况,写出四边形EFGH各顶点运动到什么位置时,S=1/2S(矩形ABCD);
(2)当n=3时,如图,求S与x之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围),探索S随x增大而变化的规律;猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置,使S=1/2S(矩形ABCD);
(3)当n=k(k>=1)时,你所发现的规律和猜想是否成立?请说明理由。
?
?
说明:本题是让学生寻找存在于图形的运动变化过程中的数学规律。关注的是推理活动,特别是合情推理(依据动点的变化特征、有关n的表达式的特点等,概括出其中的数量关系及其变化趋势),而不仅仅是数学证明、更不仅仅是几何证明。
问题4要判断如图△ABC的面积是△PBC面积的几倍,只用一把仅有刻度的直尺,需要度量的次数最少是------( )。
?
说明:本题采用了一个全新的形式来考查学生的推理能力。因为其求解过程实际上就是一个推理过程——借助面积公式,做适当的数学运算(就是推理!),获得最少的度量次数。
二、数学证明
数学证明毕竟是数学考试的要点之一,对此,任何人都不可能加以否定。但是,考查学生的数学证明能力不能仅仅局限于能否按照逻辑程序,从一个(或几个)结论出发,推出一个新的结论。事实上,获得命题的过程与证明命题常常同样重要,而且,获得的具体过程也可以对证明带来启示;同样,考查数学证明的题材也不能局限于几何(代数或其他知识领域中也有);近期的试题对这些观点有所体现.
问题1 借助计算器探索的结果。
说明:本题是以计算求解类问题的形式从事对逻辑推理能力的考查,学生的推理活动隐藏在估计结果的过程之中。
问题2 在一次数学实验探究课中,需要研究两个同心圆内有关线段的关系问题,某同学完成了以下部分记录单:
(1)???????? 请用计算器计算AB□BC的值,并填入上表的相应位置;
(2)对半径分别为R、r的两个同心圆,猜测AB□AC与R、r的关系式,并加以证明。
说明:这是一道探索性问题。具有明显的数学背景,明确的证明要求。让学生在探索的过程中,借助估计、猜测、代数运算与几何论证等活动进行数学证明。事实上,数学证明的过程,常常伴随着归纳、猜想等获得进行,而不仅仅是纯粹的逻辑证明。
问题3 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形一定为正多边形”这个命题是否成立时,进行了一些讨论。甲同学在讨论中提到了圆内接矩形;乙同学找来了这样一个几何事实:(图一),△ABC是正三角形,可以证明六边形ADBECF的各内角相等。丙同学认为当边数是5时这个命题是成立的,于是他猜想边数是7时这个命题仍然成立。
(1)你认为各内角都相等的圆内接多边形一定是正多边形吗?简要叙述你的理由。
(2)请你证明,各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(图二)是正七边形。
(3)根据以上探索过程,提出你的猜想(不必证明).
说明:本题采用了“阅读”这一新颖的形式着重于对证明理解的考查——理解证明过程中反例的作用,理解如何对证明过程中获得的结论做进一步的推广;以及能否用简单的逻辑推理证明一个命题是正确的。
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