2023杨超139高分系列-考研数学三大计算.pdf

惟撕泵领整1 3 9G A O F E N X I L I E高分系列氏要H 碍一恩.裂求极限求导数求积分。一鼠瓢雾嘉架粉:学儡，儿盛基础好?院将学写芪些人2 C 紧I 3 9L I EG A O F E N X I高分系列考研数学三大计算主 编 杨 超一一区0 到1 3 9，你还需要它蕴叉人学出版社粉考研数学复习G A O F E N杨超3 9X I高分系列整体规划学习|学习图书重难点课程学习目标阶段 时间重点7 种未定式求极限、不同类型熟悉考研数学大纲考点，了解全程班需基础零基础踝前一年9 月函数求导、不定积分的计算高等数学超详解（基础篇）考试内容，掌握基本概念、公式、定理，掌握部分基础题型考研数学三大计算难点涉及不等式、中值定理、无穷考试年3 月的解题方法级数的证明类问题1 3 9 考研数学线性代数重点定积分计算，微分方程问题求解，多元函数求导，二重积分计算，行1 3 9 考研数学概率论与数理统计熟练掌握三大计算，公式能够列式计算与矩阵变换，线性方程组求1 3 9 考研数学必做习题库基础阶段考试年3 月全程班灵活运用，简单的证明类问题解，一维随机变量问题求解基础踝（高等数学篇）A 组会求解，掌握高等数学公共部1 3 9 考研数学必做习题库难点中值定理证明，无穷级数求和考试年6 月分全部考点（除去数三、数一（线性代数篇）A 组（数一、数三），曲线、曲面积分求解专项）（数一），线性相关与无关，矩阵的秩，1 3 9 考研数学必做习题库矩阵对角化问题（概率论与数理统计篇）.A 组高等数学超详解（强化篇）重点多元函数求极值，二重积分在1 3 9 考研数学必做习题库不同坐标系下的转化与计算，三重（高等数学篇）B 组强化阶段积分的计算，方程组求解，化二次型考试年7 月1 3 9 考研数学必做习题库通过暑期的学习，掌握重难点全程班涵化调为标准形，多维随机变量问题求解（线性代数篇）B 组题型的解题方法与技巧，常见考试年9 月难点证明类问题，格林公式与高斯结论、公式要牢记1 3 9 考研数学必做习题库公式的应用，向量组与方程组之间（概率论与数理统计篇）B 组的关系，参数估计考研数学选择填空9 8 6 考研数学必做真题精编1 3 9 高分系列必做真题库重难点见强化部分，现阶段刷真题考研数学必胜5 套卷整理错题本考研数学考前必做1 0 0 题冲刺阶段通过学习刷题课和冲刺课，再考试年9 月刷题班次提升自己的解题能立，查漏考试年1 2 月补缺，冲击理想分数扫描二维码获取更多押题班前 言数学作为绝大部分工学、经济学、管理学的研究生入学必考科目，满分1 5 0 分，比重大、难度高，毫不夸张地讲，数学复习的好坏决定了考研的成败.考生在基础阶段往往过分地追求复习内容的完整性、重视定义的内涵与外延，却忽视了基本功的练习.基本功就好比一个运动员的体能.如果没有在前期打下扎实的基础，必定会对后期强化乃至冲刺阶段产生影响.正所谓 基础不牢，地动山摇.考研数学的基本功，就是三大计算求极限、求导数、求不定积分.根据笔者多年的经验，一个普通考生需要花 2 3 个月的时间才能大致掌握这三个最基本又极其重要的计算，而考生往往在考研初期找不到合适的教材和习题集练习.为了帮助考生解决上面的问题，从而达到高效复习的目的，笔者亲自手写了这本考研数学三大计算小册子，全书 9 0 0 多道题，数量多，题型全，难度由浅入深，部分题目难度较大.涉及内容有极限、导数、不定积分的计算，并附录了一部分过往真题，供考生自我检测，查漏补缺.另外，为简洁起见，大多数题目省去了前面的 求 字.本书的使用方法考生可先听课，对解题方法有初步认识后，找到本书对应部分练习.例如求不定积分，考生首先应记下基本积分公式表，然后听课并做好笔记，再翻开本书的不定积分部分练习.如果碰到不会的题目，不妨先独立思考，想不出可翻笔记，回忆有哪些思路与方法.若实在没有思路，最后再翻阅答案.罗马不是一天建成的，数学的学习需要长期的积累.希望考生通过本书可有效提高自己的计算能力，为将来的学习打下扎实的基础.笔者殷切期望刚开始复习的同学能刻苦钻研，不要轻易翻抄本书的解答.最后，希望本书能对各位考生有所帮助，祝考研成功，金榜题名!杨 超2 0 2 1 年2 月目 录第一章 求极限 11.1 求极限的入门 11.2 利用泰勒公式求极限 1 21.3 利用无穷小替换求极限 2 9?1.4 利用洛必达法则求极限 4 21.5 幂指函数求极限 5 0第二章 求导数 6 22.1 利用导数定义求导 6 42.2 利用导数定义求极限 6 82.3 复合函数求导 7 42.4 隐函数求导 8 72.5 参数方程求导 9 62.6 分段函数求导 1 0 52.7 变限积分函数求导 1 1 0第三章 求不定积分 1 2 13.1 最简单的积分 1 2 13.2 利用换元法求不定积分 1 2 93.3 利用分部积分法求不定积分 1 4 93.4 有理函数的积分 1 5 83.5 三角函数的积分 1 6 23.6 与递推有关的一组积分 1 6 4 求极限第一章1.1求极限的入门有很多实际问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的，而必须通过考察一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了极限的理论和方法.在我国公元3 世纪的魏晋时代，数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆周率的方法割圆术，就体现了朴素的极限思想.1.引例 刘徽的割圆术刘徽（约公元2 2 5 年2 9 5 年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提到的 割之弥细，所失弥少，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣 的思想，被视为古代中国乃至世界朴素的极限观念的典范.他用割圆术从圆内接正6 边形开始，计算到圆内接正1 9 2（6 2）边形，从而得到圆周率的近似值 3.1 4 1 6.2 0 0 2 年，中国邮电部发行刘徽纪念邮票，刘徽已被我国公认为古今最伟大的文化名人之一.设有一半径为1 的圆，在只知道三角形的面积计算方法的情况下，要计算其面积.为此，刘徽先作出圆的内接正6 边形，其面积记为 A，再作圆的内接正 1 2 边形，其面积记为 A 2，内接正 2 4 边形，其面积记为A 如此逐次将边数加倍.用现在的语言说，即当n 无限增大时，正多边形的面积A。就无限接近于圆的面积，即A，的增长趋势应是一个确定的数值，这个数值就表示圆的面积.在解决实际问题中逐渐形成的这种无限接近的方法，称为极限方法.2.数列的极限（1）数列数列是按一定规律排列的一列数a，a 2，a，简单表述为 数列 a，数列中的每一个数称为数列的项，其中第 n 项a。称为数列的通项.公元前四世纪春秋战国时代学者惠施称 一尺之棰，日取其半，万世不竭.这话包含的思想就是极限的雏形，描述的就是一数列a。，其中a 1=1，2=与，a。分,-,1“。2 T（2）数列的极限对于给定的数列 a。），现在要知道的是;当n 无限增大时（记为n，读作 n，趋于无穷大），数列a，的变化趋势，即当n o 9 时，对应的a。是否能无限接近于某个确定的数僳、于是，在各种微积分教材中，出现了以下统一化的定义设 a。是数列.如果存餐常数，7考研数学三大计算对于任意给定的正数e 0，存在正整数 N，当n N 时，l a.a|0，存在X 0，使得当|x|X 时，|f（x）一A|0.总存在 0，使得当0|x 一x。时，f（x）一A|，则称f（x）当x x。时以 A 为极限，记作l i m f（x）=A.下面介绍极限中两个重要概念.4.无穷小量和无穷大量为表达方便，我们以l i m 代表不同变化过程中的l i m，l i m，l i m，l i m，l i m ，l i m 等.，心工中，心平”；，心。（1）无穷小量若l i m a（x）=0，则称在相应的变化过程中，a（x）是无穷小.例如，当x 0 时，x 3，x 5，s i n x，t a n 工，s i n x+t a n x，s i n x 一t a n x，s i n x t a n x 都是无穷小;当.x o 时，二是无穷小.（2）无穷大量在函数极限不存在时，其中有一种情况，就是在自变量x 的某个变化过程中下函数不）的绝对值|f（x）|无限增大.此时就称/（x）是该变化过程中的无穷大，记作 l i m n l）P 劝 o.2第一章 求极限1学泻l i m-=o o，l i m.z 2=c，但当.x*o 时，s i n x 却不是无穷大.1 2 x-1r+0.2特别地，若/（x）大于零而绝对值无限增大，则称f（x）是正无穷大;若/（x）小于零而绝对值无限增大，则称 f（x）是负无穷大.正无穷大与负无穷大分别记为 l i m f（x）=o 0 与l i m f（x）=0.例如，l i m r=+c o，l i m I n x=-c o.注 o，c o，一c 都不是数，这里采用了类似于数的记号，只是为了表达上的简单.5.初学求极限时要记住的一些结论和公式乙。n m,(d ;a n，十a，-1 x -1+十a;x 十a。(1)l i m-n=m，其中a，0，b，0，b化十：十气十b a 十b，n m.仍创l a l 0 O6 l i m c o S n?l i m S i n n c.九 0几0 9S i 九L“7.1 i m-8.l i m-口义十XX 0+04第一章 求极限S i n x1 e 1 i m(3 x-1./i m.9.二”X 2i x-L工-3+2 x1 1.l i m1 2.l i mx+I丫寸上X 十!Z 12 21+2 x1 4 l i m1 3.i m 2 x-1丫“”引X 0人书3+2 4 文儿l m 3 x+l i m 11 5 i“”十”X+lx X 15考研数学三大计算x-4X +x-Ll 8.l i m i 1 7.V i m2-2x +1X-)FX 22 0.b m X(X+9.1 l m x 3-x仪x X +XX 04一2 1.i mX 4X-2 iX 26第一章 求极限强 化 篇x -1X 12.j m/./i m _2 0 x -X 一J兴“了x 1 2 x-x-1(2 x-3)(3 X+2,(X-1)(X-2)(X-3)(X-4 J X-5)4.l i m./J i m(2 K+1)一心”“引X 0 x+x+N6 /i m与1 m x 5 x+6x 2-8+1 5“土不！心X+0 o了(X+b -x叫言”“心”十8.J i m hh。门名十X +01考研数学三大计算“一?1 i m X+S i n x言一1 0 l力？1-X；”x-四 X-S i n XX/一X（n+2）（皿+3）（3 n+4）/2,l i m a r c S i n1/,1 i m/+X心几0 ox 0Z-41 3.l i m a r c l e s S(J x+X-x)4 l i m n a r e t a n-C x-2)X 2x 十四xe/6.l i m.1 5.l m a r c c o t一十“土X x 0X-0。第一章 求极限7.I i m(、J1 8.l m（1 x 2+x-x.x 2+X-x）.X+c o-c o一2 0 l i m a r c t a n-i 9 l i m a r c t a n一XI-xx+“一一2 2.)2 1.)j m1+e+ex 0-X 0+3 1 m(x+)2 4 1 m(x+x“上”“”9考研数学三大计算l n m x【支】.2.X-D1 0第一章 求极限真题自测的极限）.（1 9-）当x 时，函数之x-/ex 一1（B）等于0（A）等于2入冶乙（D）不存在但不为0S i n x n了2+e（2 o）求l m“4l x不一十x 01 11.2利用泰勒公式求极限提起泰勒公式，不少同学戏称 太累 公式，他们被这些公式搞得晕头转向.今天，让我们一起来感受泰勒公式在求极限时的 风采.学习之前，请各位读者思考两个问题（1）不通过计算器，学过高数后，请回答s i n 0.0 5 _ _ _ _ _，e _ _ _ _