5.3　等比数列及其前n项和.pptx

5.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和第五章第五章课标要求1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.备考指导作为与等差数列并重的一个特殊数列,复习本节内容时可类比等差数列,牢记相关公式和性质,并注意与等差数列的不同点,重点训练基本量的运算和性质应用.分类讨论和函数与方程思想是本节涉及较多的思想方法,对数学运算的核心素养也有一定的要求.内容索引第一环节必备知识落实第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实第一环节必备知识落实【知识筛查知识筛查】 1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q(q0) 表示.2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使 a,G,b 成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2= ab .温馨提示在等比数列an中,任取相邻的三项an,an+1,an+2,则an+1是an与an+2的等比中项,即问题思考“b2=ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件?必要不充分条件.因为当b2=ac时不一定有a,b,c成等比数列,比如a=0, b=0,c=1.但a,b,c成等比数列一定有b2=ac.3.等比数列的通项公式首项为a1,公比为q的等比数列an的通项公式为an= a1qn-1 .温馨提示等比数列an的图象是指数型函数 的图象上的一群孤立的点.4.等比数列的前n项和公式首项为a1,公比为q的等比数列的前n项和(5)若Sn是等比数列an的前n项和,则当q-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为 qn .1.在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列,公比为qk.【知识巩固知识巩固】 1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)满足an+1=qan(q为常数)的数列an为等比数列.()(2)等比数列中不存在数值为0的项.()(3)若数列an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列bn也是等比数列.()(4)若数列an为等比数列,则数列ln an是等差数列.() 2.在等比数列an中,若a3=12,a4=18,则a6等于()A.27B.36C.D.543.(2021全国,文9)记Sn为等比数列an的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=()A.7B.8C.9D.10CA设等比数列an的公比为q,由题意知q1.根据等比数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4).S2=4,S4=6,(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.4.在各项均为正数的等比数列an中,若a2a3=16,则数列log2an的前4项和等于.5.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机分钟,该病毒占据内存64 MB(1 MB=210 KB).8由等比数列的性质,得a2a3=a1a4=16,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2(a1a2a3a4)=log2(1616)=8.48由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一个等比数列an,且a1=2,公比q=2,即an=2n,由2n=64210=216,得n=16,即病毒共复制了16次.故所需时间为163=48(分钟).第二环节关键能力形成第二环节关键能力形成能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5能力形成点能力形成点1等比数列基本量的运算B能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5(2)记Sn为等比数列an的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则 等于()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1B能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点532能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比,进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5对点训练1(1)已知等比数列an中,a5=3,a4a7=45,则 的值为()A.3B.5C.9D.25D(2)已知an为等比数列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a5等于()A.189B.72C.60D.33C设等比数列an的公比为q,因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,所以q2-4q+4=0,得q=2.所以a3+a5=a1(q2+q4)=3(4+16)=60.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5(3)已知等比数列an中的各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=.30由题意得,2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a3-a2-6a1=0.设等比数列an的公比为q(q0),则2a1q2-a1q-6a1=0,即2q2-q-6=0,能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5能力形成点能力形成点2等比数列的判定与证明例2设数列an的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+nan=(n-1)Sn+2n.(1)求a2,a3的值;(2)求证:数列Sn+2是等比数列;(3)求数列an的通项公式.(1)解 因为a1+2a2+3a3+nan=(n-1)Sn+2n,所以当n=1时,a1=21=2;当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,得a2=4;当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,得a3=8.综上,a2=4,a3=8.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5(2)证明 因为a1+2a2+3a3+nan=(n-1)Sn+2n,所以当n2时,a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=(n-2)Sn-1+2(n-1).由-,得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2.可得-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,则Sn+2=2(Sn-1+2).因为S1+2=40,所以Sn-1+20,所以 故Sn+2是以4为首项,2为公比的等比数列.(3)解 由(2)可知,Sn+2=42n-1=2n+1.所以Sn=2n+1-2.当n2时,有an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n+1-2n=2n.由(1)知,a1=2,故当n=1时,上式也成立.综上,an=2n.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5解题心得等比数列的判定方法 能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5提醒:(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.(2)要判定一个数列不是等比数列,可用反证法证明存在连续三项不成等比数列即可,一般证明能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5对点训练2已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n.(1)求a1,a2,a3的值.(2)是否存在常数,使得an+为等比数列?若存在,求出的值和通项公式an;若不存在,请说明理由.解 (1)根据题意可知当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3;当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9;当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5(2)假设存在常数,使得an+是等比数列,则(a2+)2=(a1+)(a3+),即(9+)2=(3+)(21+),解得=3.下面证明an+3为等比数列:Sn=2an-3n,Sn+1=2an+1-3n-3,an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,即2an+3=an+1,2(an+3)=an+1+3,a1+3=60,an+30,存在=3,使得数列an+3是首项为a1+3=6,公比为2的等比数列.an+3=62n-1,即an=3(2n-1).能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5能力形成点能力形成点3等比数列性质的应用命题角度命题角度1 等比数列等比数列项的性质的应用项的性质的应用例3(1)在由正数组成的等比数列an中,若a3a4a5=3,则sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值为()B能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5(2)在各项均为正数的等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.14能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5命题角度命题角度2 等比数列等比数列前前n项和性质的应用项和性质的应用例4在等比数列an中,其前n项和为48,前2n项和为60,则其前3n项和为.63能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.对已知等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5(2)已知等比数列an的前n项和为Sn,若an0,公比q1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5=.31 能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5(4)已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=.30由题意知公比大于0,由等比数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,仍为等比数列.设S2n=x,则2,x-2,14-x成等比数列.由(x-2)2=2(14-x),解得x=6或x=-4(舍去).即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,是首项为2,公比为2的等比数列.又S3n=14,所以S4n=14+223=30.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5能力形成点能力形成点4等差数列与等比数列的综合问题例5(2021山东滨州一模)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=2,b2=4,an=2log2bn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列an中不在数列bn中的项按从小到大的顺序构成数列cn,记数列cn的前n项和为Sn,求S100.解 (1)设等差数列an的公差为d.因为b2=4,所以a2=2log2b2=4,所以d=a2-a1=2.所以an=2+(n-1)2=2n.又an=2log2bn,即2n=2log2bn,所以n=log2bn,所以bn=2