李亚普诺夫法稳定性分析.docx

第 3 章 李亚普诺夫法稳定性分析 第 1 节 基本概念 1. 系统的平衡状态 设系统的齐次状态方程为 x& = f (x,t) 若存在状态xe ，对所有t 都满足x& = f (xe ,t) = 0，则称xe 为系统的平衡状态。 一个系统，不一定都存在平衡状态；如存在，也不一定唯一； 多个平衡状态，可能连续，也可能孤立。一般只研究孤立平衡状 态。 一般地， x ¹ 0，此时可通过平移变换x = x - x 使x = f (x,t)的 e e 平衡点x = 0。故一般只研究x = 0（原点）处的稳定性。 e e 一般地，认为t = t 0 2. 系统的稳定性 时刻扰动消失，此时系统初始状态为x 0 ¹ x 。 e 系统受到扰动后其状态将偏离原平衡状态x 。系统稳定性表示 e 扰动消失后系统在平衡状态（原x 或新x ）下继续工作的能力。 e e 稳定性是系统的一种内部属性， 可采用齐次状态方程 x = f (x,t)通过x ¹ 0，t ³ t 的自由运动进行研究。 0 0 稳定性是针对平衡点而言的。 对 A ¹ 0的线性定常系统，只有一个平衡点x e 定性与系统稳定性是统一的。 =0 ，平衡点的稳 对多平衡点系统，不同的平衡点可能具有不同的稳定性，不 存在统一的系统稳定性问题，必须逐一分析各平衡点的稳定性。 3. 李亚普诺夫关于稳定性的定义 状态x 到x 的距离（欧几里德范数）： e x - x = [(x e 1 - x )2 1e + + (x L n - x )2 ]1/ 2 ne x - x £ e 称为 x 的邻域（以 x 为中心、 e 为半径的超球体 e e e x Î s(e )）。 李亚普诺夫关于稳定性的定义： 对任意实数 e > 0，总存在d (e ,t ) > 0。当 x - x < d 时，系统 0 0 e & x = f (x,t)自x 出发的状态轨迹x(t)（t ³ t ）： 0 0 １）若满足lim x - x t ®¥ e ２）若满足lim x - x £ e ，称系统在x e = 0，称系统在x 处李亚普诺夫稳定； 处渐近稳定； t ®¥ e e ３）对任意x 0 稳定； 都满足lim x - x e t ®¥ = 0，称系统在x 处大范围渐近 e e ４）如x 不是李亚普诺夫稳定或渐近稳定的，则称其是不稳 定的。 满足渐近稳定的最大范围称为吸引域。 大范围渐近稳定的必要条件是系统只有一个平衡点。若d (e ,t ) > 0与t 无关，称x 是一致稳定的。 0 0 e 4、其他类型的稳定性定义 BIBO 稳定性，完全稳定性等。 第 2 节 李亚普诺夫第二法（直接法）稳定性定理 1. 标量函数的定号性 设V (x)为标量函数，且当x = 0，V (x) º 0。若对任意x ¹ 0 ÎW （原点附近）： 如V (x) > 0（V (x) < 0），则称V (x)为正定（负定）函数； 如V (x) ³ 0（V (x) £ 0），则称V (x)为半正定（半负定）函数；特别情况： 设P Î Rn´n ， P = Pt ，则 V (x) = xt Px = ån ån p x x ij i j = ån p x2 ii i + 2i =n-å1, j =n p x x ij i j i =1 j =1 i =1 i =1, j >i 称为二次型标量函数，V (x)的定号性与P的定号性相一致。 P的定号性可有赛尔维斯特准则确定： L 设D (i = 1,2, , n)为P的各阶主子行列式，即 i D = p , D 1 11 2 = 11 p p 21 p ,LL,，D = P 12 p n 22 则 L 若D > 0(i = 1,2, , n)，则P > 0； i L 若D ³ 0(i = 1,2, , n - 1)，D = 0，则P ³ 0； i n 若D i为奇数 < 0, D  i为偶数 > 0,则P < 0； 若D i为奇数 £ 0, D  i为偶数 ³ 0, D n = 0，则P £ 0。 2. 直接法稳定性定理 设对x& = f (x,t)（t > 0）的xe = 0，在其某邻域内存在V (x,t) > 0，且其沿状态轨迹关于时间的导数为V& (x,t)，则有 （1） 若V& (x,t) > 0， xe 不稳定； （2） 若V& (x,t) £ 0， xe 李亚普诺夫稳定； （3）若V& (x,t) < 0，或V& (x,t) £ 0但对"x ¹ xeV& (x,t)不恒等于 0，则xe 渐近稳定；且当 x ® ¥时V (x,t) ® ¥ ，则xe 大范围渐近稳定。 此时的V (x,t)称为李亚普诺夫函数，记为V 说明： * (x,t)。 e （1）V (x,t)仅表示x 某邻域内局部运动的稳定性。 （2） 对非线性系统，没有构造V 氏直接法应用的困难所在。 * (x,t)的通用的方法，这是李 （3） 对稳定的平衡点，也可能一时找不到 V V *(x,t)也不能据此判定其不稳定。 * (x,t) ，找不到 （4） 对稳定的平衡点，其V *(x,t)不是唯一的。 （3）对物理系统，V (x,t)可以理解为能量函数，V& (x,t)则表示 e e 能量沿状态轨迹的变化速率。对渐近稳定的x ，在x 处V (x,t)取极小值。对一般系统，V (x,t)可视为广义能量函数。 R 例：R-L 电路稳定性分析。取x = i ，系统状态方程为x& = - L x。 & 令x = 0得平衡点为x e = 0。取 1 V (x) = Lx2 （电感磁场能量） 2 而 V& (x) = Lxx& = Lx(- R L )x = -Rx2 < 0 (x ¹ 0) 另 lim V (x) ® ¥ ，故 x = 0 大范围渐近稳定。李亚普诺夫函数为 x ®¥ e 1 V * (x,t)= Lx2 。 2 显然还有 V * (x,t)= Lx 2 第 3 节 线性系统稳定性的直接法分析 1、特征值稳定判据 线性定常系统 x& = Ax (det A ¹ 0)在xe = 0 大范围渐近稳定的充要条件是A 的所有特征值均具有负实部。 2、直接法稳定判据 & 线性定常系统 x = Ax 在x = 0大范围渐近稳定的充要条件是 e 对任意给定的正定实对称矩阵 Q，另存在正定实对称矩阵 P，满 足李亚普诺夫方程 AT P + PA = -Q 而系统的李亚普诺夫函数为 V (x) = xT Px 证明： 充分性。 不妨取V (x) = xT Px，因P > 0，故可保证V (x) > 0。而 V· (x) = x&T Px + xT P x& = xT AT Px + xT PAx = xT ( AT P + PA)x = -xT Qx 因Q > 0，必有V· (x) < 0，所以系统在x e = 0大范围渐近稳定。 必要性。略 对线性定常系统x& = Ax，有 推论：李亚普诺夫方程AT P + PA = I 具有惟一正定对称解矩 阵 P 与A 阵所有特征值均具有负（正）实部是等价的。 说明：对高阶系统，求解李亚普诺夫方程不是一件容易的事 情。 3 线性定常系统过渡过程时间的估计引入衰减系数 h = - V& (x) V (x) 定理：设 Q 和 P 是满足线性定常系统x& = Ax的李亚普诺夫方 程 AT P + PA = -Q 的正定对称矩阵，则系统自由运动最小衰减系数估计值为 h min = l min (QP-1 ) 其中 l (×)表示(×)的最小特征值。 min 从而等效衰减最大时间常数估计值为 T = 1/h max min 其从某初始状态x 0 自由运动到指定状态x 的最大时间估计值则为 t £ 1 ln V (x ) 0 max h min V (x) 说明：上述方法需要计算特征根 l min (QP-1 ) ，且高阶系统估计 误差较大。更有效的方法是误差平方积分法。 4 线性时变连续系统直接法稳定定理 设线性时变连续系统状态方程为 & x = A(t) x x(t ) = x t ³ t 0 0 0 系统在平衡点x e = 0 处大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定 的连续正定对称矩阵 Q（t），必存在连续正定对称矩阵P（t），满 足黎卡提矩阵微分方程 · P（t) = - AT (t)P(t) + P(t) A(t) - Q(t) 而系统的李亚普诺夫函数为 V (x,t) = xT  (t)P(t)x(t) 设系统x& = A(t) x ，t ³ t 0 的状态转移矩阵为 F(t, t 0 ) ，当给定 Q （t），则黎卡提矩阵微分方程的解为 P(t) = f（T t ,t)P(t )f(t ,t) - òt 0 0 0 t 0 f（T t ,t)Q(t )f(t ,t) dt 式中 P(t 0 )为黎卡提矩阵微分方程的初始条件。 通过判别 P（t）的正定性可判别系统的稳定性。 该定理不便应用，主要具有理论意义。 第 4 节 非线性系统稳定性分析 1、非线性系统稳定性的间接法（第一法）分析 对弱非线性系统，可通过平衡点处的线性化系统来判断原非线性系统在该平衡点的稳定性。 设非线性定常系统的齐次状态方程为 x = f ( x) f ( x)对x 连续可微。把 f ( x)在平衡状态x e 作广义泰勒级数展开： x + Dx = f ( x + Dx) e e = f ( x ) + e  ¶f ( x) ¶x x= x ¶f ( x) ¶x e Dx + 1 Dxt 2!  ¶2 f ( x) ¶x2 x= x e Dx + = f ( x ) + e  x = x e Dx + g( x e , Dx) é¶f / ¶x ¶f / ¶x ¶f / ¶x ù ¶ f (x) ê¶ 1 1 1 2 1 n ú ê 式中 ¶ x f / ¶x = ê 2 1 ¶f / ¶x 2 2 ¶f / ¶x 2 2 ú---雅克比矩阵； û ú ë ê¶f n / ¶x 1 ¶f / ¶x n 2 ¶f / ¶x ú n n ¶2 f ( x) ¶x2 ---海赛（Hessian）矩阵； g( x e , Dx) ---高次项