圆域有理Bézier曲线.pdf

第2 3 卷第6 期计算机辅助设计与图形学学报 V 0 1 2 3N o 6 2 0 1 1 年6 月J o u r n a lo fC o m p u t e r A i d e dD e s i g n & C o m p u t e rG r a p h i c s J u n e2 0 1 1 圆域有理B 6 z i e r 曲线 石 茂h ，叶正麟，康宝生3 1 ( 西北工业大学应用数学系西安 7 1 0 0 7 2 ) ”( 陕西师范大学数学与信息科学学院西安7 1 0 0 6 2 ) 3 ( 西北大学计算机系西安 7 1 0 0 6 9 ) ( s h i m a o s n n u e d u c n ) 摘要：针对C A D 造型系统中有理B 6 z i e r 曲线数值运算的鲁棒性问题，首先提出了中心投影变换和平行投影变换 下的2 种圆域有理B 6 z i e r 曲线，给出了它们的端点插值、仿射不变性等性质，并通过实例比较了它们的误差半径的异 同；其次讨论了这2 种圆域有理B 6 z i e r 曲线的退化条件，给出了平行投影变换下的圆域有理B 6 z i e r 曲线降阶实例结 果表明，上述2 种圆域有理B z i e r 曲线具有一定的理论意义和应用价值 关键词：中心投影变换；平行投影变换；圆域有理B 6 z i e r 曲线；降阶 中图法分类号：T P 3 9 1 7 2 ；0 2 4 1 5 D i s kR a t i o n a lB 6 z i e rC u r v e s S h iM a 0 1 ，Y eZ h e n g l i n ，a n dK a n gB a o s h e n 9 3 ”( D e p a r t m e n to fA p p l i e dM a t h e m a t i c s ，N o r t h w e s t e r nP o l y t e c h n i c a lU n i v e r s i t y ，X i a n 7 1 0 0 7 2 ) ”( C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n dI n f o r m a t i o nS c i e n c e ，S h a a n x iN o r m a lU n i v e r s i t y ，X i a n7 1 0 0 6 2 ) ”( D e p a r t m e n to fC o m p u t e r ，N o r t h w e s tU n i v e r s i t y ，X i a n 7 1 0 0 6 9 ) A b s t r a c t ：T oa d d r e s sr o b u s t n e s sp r o b l e mo fr a t i o n a lB 6 z i e rc u r v ei nC A Ds y s t e m s ，t w od i s kr a t i o n a l B 6 z i e rc u r v e sa r eg i v e ni nt h i sp a p e r O n ei sd e f i n e db yap e r s p e c t i v em a pw h o s ep e r s p e c t i v ec e n t e ri s t h eo r i g i n ；t h eo t h e ro n ei sd e f i n e db yap a r a l l e lp r o j e c t i o no nt h eh y p e r p l a n e = 1 T h ep r o p e r t i e s ， s u c ha se n d p o i n ti n t e r p o l a t i o n ，a f f i n et r a n s f o r m a t i o ni n v a r i a n c ee t c ，a r ed i s c u s s e d T h e i rerrorr a d i u s area l s oa n a l y i z e da n dd i s c u s s e db yu s i n ge x a m p l e s D e g e n e r a c yc o n d i t i o n sf r o md e g r e e 咒t od e g r e e7 ( 7 z m ) a r eg i v e nf o rt w ok i n d so fc u r v e sr e s p e c t i v e l y T h ee x a m p l ef o rt h ed e g r e er e d u c t i o no fd i s k r a t i o n a lB 6 z i e rcurveu n d e rt h e p a r a l l e lp r o j e c t i o n i sa l s o g i v e n T h et h e o r e t i c a la n a l y s i s a n d e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dr a t i o n a lB 6 z i e rc u r v e sh a v es o m ep o t e n t i a ls i g n i f i c a n c e si n C A D K e yw o r d s ：p e r s p e c t i v em a p ；p a r a l l e lp r o j e c t i o n ；d i s kr a t i o n a lB 6 z i e rc u r v e s ；d e g r e er e d u c t i o n 在C A D 中，用于复杂物体生成和分析的C A D 系统是基于几何的实体造型方法，它们绝大多数操 作是在浮点运算( F P A ) 环境下实现的由于F P A 的 运算容易产生浮点误差，所以只能得到近似的结果 为了保证数值运算的鲁棒性以及计算结果的精确 性，区间方法被应用于几何造型和C A D 之中该方 法是用一个区间来代替一个点进行计算，这样就能 保证理论上的精确结果包含于计算的结果中，避免 收稿日期：2 0 1 0 0 7 1 2 ；修回日期：2 0 1 0 0 9 1 0 基金项目；国家自然科学基金( 6 0 6 7 1 0 6 3 ) 石茂( 1 9 7 2 一) ，男。博士研究生。C C F 学生会 员，主要研究方向为计算几何；叶正麟( 1 9 4 3 一) ，男。教授。博士生导师，主要研究方向为计算几何；康宝生( 1 9 6 1 - - ) ，男，博士，教授，博士生导 师，主要研究方向为计算几何 万方数据 计算机辅助设计与图形学学报第2 3 卷 信息丢失1 9 9 2 年S e d e r b e r g 和F a r o u k i 在研究不同 C A D 造型系统之间的数据通信问题时，提出了区间 B 6 z i e r ( i n t e r v a lB 6 z i e rc u r v e s ) 参数曲线的概念，并 且将其运用于对一般曲线的逼近中，取得了很好的 效果随后1 9 9 6 年H u 和P a t r i k a l a k i s 将区间 B 6 z i e r 曲线的概念推广到了区间非均匀有理B 样条 ( I N U R B S ) 曲线曲面他们给出的区间非均匀有理 B 样条曲线曲面与传统均匀有理B 样条曲线曲面的 区别是，用于表示控制顶点的实数被区间数所代替， 即控制顶点向量为一个矩形区间H 虽然区间参数 曲线曲面较好地解决了数值运算的鲁棒性和计算结 果的精确性，但因为长方形区间具有二维旋转的不 对称的缺点，以致区间B 6 z i e r 曲线不再具有仿射不 变性 2 为了克服区间算法的缺点，L i n 等 3 1 引入了 圆域B 6 z i e r 曲线( d i s kB 6 z i e rc u r v e ) ，即用一个圆盘 代替控制顶点圆域B 6 z i e r 曲线也可以被当作带公 差的B 6 z i e r 曲线，并且当所有的圆域半径都相同 时，其边界曲线就是其中心曲线的等距线因此圆域 B 6 z i e r 曲线一出现就引起了人们的广泛关注但是 众所周知，整形多项式参数曲线不能精确地表示除 抛物线以外的二次陆线 4 ，因此将圆域B 6 z i e r 曲线 推广到圆域有理B 6 z i e r 曲线则是一件非常有意义 的工作另外，圆域有理B z i e r 曲线也具有一些自 身固有的特点，例如对圆域有理B 6 z i e r 曲线的退化 条件就体现出了与其他有理参数不同的性质，不过 到目前为止我们还没有发现这方面的公开文献 本文主要讨论圆域有理B 6 z i e r 曲线的2 种定义 及其性质，并给出了一种圆域有理B 岳z i e r 曲线的降 阶实例 1 圆域算法 平面上的一个P 一范数 5 下的圆域可定义如下： 定义1 称有界闭区间 E q 3 = ( z 。，Y 。) ，一 x ER 2 川x - - q r ，r ER + 为以点口为中心，以，为半径的P 一范数下的圆域 声的取值不同，则边界的形状也不相同，如图1 所 示本文主要讨论2 一范数下的圆域比 ，简称为圆域 图1 P 取不同值时的单位圆 圆域有如下的运算性质： 性质1 对V k E R ，k E q - 1 = k q = ( k x ，k y ) ， 性质2 对任意2 个圆域 q 。 一( ，Y 。) E q 2 一 ( z 2 ，y 2 ) ， 口1 + q 2 一( z l ，Y 1 ) ，+ ( z 2 ，Y 2 ) 。一 ( z 1 + z 2 ，Y 1 + Y 2 ) h + ，。 由性质1 ，2 可得 k ： q ， 一 走m 一( k 而，k i Y i ) 蚤 i = o ! - o l = 0l = 0 ，；。 若将二维平面圆域E p 一( z 。，y 。) ，表示为齐次 坐标形式 P “ 一( X o ，Y o ，) ，一( z o ，w y o ，) ，= r 一( c 时，叫y ，c o ) 礤r P I l p ，- ；，- R 十) ( 1 ) 然后应用平行投影变换f ( ) 6 - 7 ，可得 E p 一j ( P ) 一I ( X 。，Y 。，) = f 墨，Y 0 1 一( m y 。) ， ( 2 ) 、c u，r 式( 1 ) 的几何图形是以x y w 为坐标系，以点P 为中 心，以r 为半径的一个与平面x o y 平行的空间有界 圆形区域；式( 2 ) 表示将一个齐次坐标的圆域平行投 影到一1 的平面上 若将二维平面的任一圆域I - q 7 一( z 。，Y 。) ，用齐 次坐标表示为 Q 。 一( X o ，Y j ，c o ) R 一( ( 盯o ，t o y o ，) 。，= r 一( ( 妇，w y ，c c J ) 礤r Q “l | L p o o r ；R ，R + ) ( 3 ) 则应用中心投影变换H ( ) 6 3 可得 口 一H ( Q ” ) = H ( X 。，Y 。，R ) 一 万方数据 第6 期 石茂，等：圆域有理B z i e r 曲线 1 0 4 3 ( i X O 乙Y o ) 旦= ( X o , Y o ) ， ( 4 ) 2 1平行投影变换 其中叫R + 式( 3 ) 的几何图形是以z y 为坐标系， 以点驴为中心，以c u r 为半径且与平面r o y 平行的 一个空间有界圆形区域；式( 4 ) 表示将一个齐次坐标 下的圆域中心投影到一1 的平面