圆弧的四次Bézier曲线逼近.pdf

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第2 2 卷第7 期计算机辅助设计与图形学学报 V 0 1 2 2N o 7 2 0 1 0 年7 月 J o u r n a lo fC o m p u t e r A i d e dD e s i g n & C o m p u t e rG r a p h i c sJ u l y2 0 1 0 圆弧的四次B 6 z i e r 曲线逼近 储理才h ,曾晓明 ”( 厦门大学数学科学学院厦f - I 3 6 1 0 0 5 ) ”( 集美大学理学院厦门3 6 1 0 2 1 ) ( c h u l c j m u e d u c n ) 摘要:针对B z i e r 曲线不能精确表示圆弧,导致在基于B 6 z i e r 曲线曲面造型的C A D 系统中存在圆弧的B 6 z i e r 曲 线逼近问题,提出一种用四次B z i e r 曲线逼近圆弧的方法根据圆弧与B 6 z i e r 曲线都具有的对称性确定带待定参数 的1 3 垂z i e r 曲线的控制顶点;再由误差函数的零点分布情况确定待定参数。给出控制顶点的计算公式、误差的解析表 达式和逼近阶与采用已有方法得到的最好结果相比较,文中方法的逼近阶虽然也是8 ,但系数不到已有方法的一 半,因而具有更好的逼近精度 关键词:圆弧;四次B 6 z i e r 曲线;逼近阶;H a u s d o r f f 距离 中图法分类号:T P 3 9 1 7 A p p r o x i m a t i o no fC i r c u l a rA r c sb yQ u a r t i cB 6 z i e rC u r v e s C h uL i c a i l a n dZ e n gX i a o m i n 9 1 ”( S c h o o lo fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s ,X i a m e nU n i v e r s i t y ,X i a m e n3 6 1 0 0 5 ) ”( S c h o o l o f S c i e n c e s 。J i m e iU n i v e r s i t y ,X i a m e n3 6 1 0 2 1 ) A b s t r a c t :T oa d d r e s st h ep r o b l e mt h a tB 6 z i e rc u r v e sc a nn o ta c c u r a t e l yr e p r e s e n tc i r c u l a ra r c s ,an e w a p p r o x i m a t i o nm e t h o df o rc i r c u l a ra r c sb yq u a r t i cB 6 z i e rc u r v e si sp r e s e n t e d F i r s t l y ,b a s e do nt h e s y m m e t r yo fc i r c u l a ra r c sa n dB 6 z i e rc u r v e s ,t h ec o n t r o lp o i n t sw i t hu n k n o w np a r a m e t e r sa r e d e t e r m i n e d T h e na c c o r d i n gt ot h ed i s t r i b u t i o no fr o o t so ft h ee r r o rf u n c t i o n ,t h ep a r a m e t e r so fc o n t r o l p o i n t sa r ef u r t h e rd e t e r m i n e d T h ea n a l y t i ce x p r e s s i o no fe r r o rf u n c t i o na n dt h ea p p r o x i m a t i o no r d e r a r eg i v e ni nt h i sp a p e r C o m p a r e dt ot h ep r e v i o u s l yk n o w nb e s tr e s u l t s ,t h ea p p r o x i m a t i o no r d e ro ft h e p r o p o s e dm e t h o di sa l s oe i g h t ,b u tt h ec o e f f i c i e n ti sl e s st h a nh a l fo ft h ep r e v i o u s l yb e s tr e s u l t sa n d t h u so u rm e t h o dh a sb e t t e ra p p r o x i m a t i o na c c u r a c y K e yw o r d s :c i r c u l a ra r c s ;q u a r t i cB 6 z i e rc u r v e ;a p p r o x i m a t i o no r d e r ;H a u s d o r f fd i s t a n c e 圆弧是具有常曲率的平面曲线,在C A G D 或 C A D C A M 领域中有着广泛的应用由于圆弧不是 多项式曲线,不能用B 6 z i e r 曲线精确表示,在基于 B 6 z i e r 曲线曲面造型的C A D 系统中,为了避免把特 殊的程序包括到系统中来,需要根据实际情况选择 合适的方法用B 6 z i e r 曲线逼近圆弧L l J 文献 2 给出了圆弧的曲率连续的三次逼近,文 献 3 研究了逼近阶是6 的最优三次逼近,k = o , 1 ,2 ;文献 4 3 讨论了用四次和五次B 6 z i e r 曲线逼近 圆弧方法,逼近阶分别达到8 和1 0 ;文献 5 3 讨论了 用五次多项式曲线逼近圆弧的方法;文献 6 3 讨论了 用B z i e r 曲线逼近同阶的B 6 z i e r 曲线的等距曲线 问题;文献 7 提出了一种不同于文献 4 3 的四次 B 垂z i e r 曲线逼近圆弧方法,并证明了该方法的逼近 阶也是8 ,但系数从原来的9 4 7 1 0 _ 8 降到5 6 1X 1 0 在文献 7 3 还论证了该方法是现有的四次B 6 z i e r 收稿日期:2 0 0 9 1 0 3 0 ;修回日期:2 0 0 9 - 1 2 1 5 基金项目:国家自然科学基金( 1 0 5 7 1 1 4 5 ) I 厦门市科技计划项目( 3 5 0 2 2 2 0 0 8 3 0 1 2 ) 储理才 ( 1 9 6 9 一) ,男。博士研究生,副教授,主要研究方向为C A G D ;曾晓明( 1 9 5 5 一) 。男,博士,教授,博士生导师,主要研究方向为逼近论C A G D 、小 波分析 万方数据 第7 期储理才,等:圆弧的四次B 6 z i e r 曲线逼近 1 0 9 5 曲线逼近方法中误差最小的 本文同样研究用四次B 6 z i e r 曲线逼近圆弧,证 明了当逼近曲线在圆弧的首末端点处与圆弧有公共 切线且误差函数的零点都分布在 o ,1 内时,逼近曲 线可分为4 种类型,而文献 6 7 所研究的是误差函 数的互异零点个数分别为2 ,3 时的情形本文研究 互异零点个数为5 的情形,由于互异零点个数的增 多,得到了比文献 7 3 更好的结果,进一步提高了逼 近精度 1 四次B 6 z i e r 曲线的控制顶点定义 本文研究用四次B 6 z i e r 曲线逼近半径为1 、圆 心角为口的圆弧,0 a 0 ,此时驴( ) 的零点分布是o ,o , 0 ,c ,1 一,1 ,1 ,1 ; 3 ) t ,= c ,2 o ,此时妒( ) 的零点分布是0 ,0 ,御, ( t ,1 一,1 一,l ,l ; 4 ) O 甜l 御。,此时曲( ) 的零点分布是0 ,0 , 叫l ,2 ,1 - - 6 0 2 ,1 - - 0 1 ,1 ,1 ; 文献r 4 研究了第1 种类型和第2 种类型下c c ,= 0 5 的情况,文献E 7 研究了第3 种类型下一o 5 的 情形,即互异零点个数分别为2 和3 的情形本文研 究第4 种类型下。= 0 2 ,。= 0 5 的情形,即考虑 妒( f ) 具有如下零点0 ,0 ,0 2 ,0 5 ,0 5 ,0 8 ,1 ,1 此时 驴( ) 有5 个互异零点 3 四次B 垂z i e r 迢j 垃曲线 定理2 当 “:5 7 s i n a - - 6 4 s i n 2 面- 1 - 赢2 0s 再i n 3 酉f 4 1 8 c o sf 一- F1 8 2 ( 6 ) “2 医磊习习r 一 L o J r 一号( 8 一t “s i n 号一5 c 。s 号) ( 7 ) 时,误差函数妒( z ) 具有零点o ,o ,吾,号,专,詈,1 和 1 ,且 妒( f ) 一A ( “,r ) f 2 ( f i 1 ) ( 一虿1 ) 2 ( f 一了4 ) ( 一1 ) 2 ( 8 ) 其中, r ) 一4 ( 3 c 。s 号+ 4 “s i n 号一3 r ) 2 ( 9 ) 证明解方程妒( 丢) = o 可得式( 7 ) 再将式( 7 ) 代人式( 8 ) ,解方程妒( ) 一o ,即得式( 6 ) 由定理1 ,妒( ) 关于= 1 2 对称,1 5 是其零点, 则4 1 5 也必是其零点;由引理1 ,1 2 若是妒( ) 的零 点,则其重数必为偶数,此处重数必为2 于是 z 2 ( t 一号) ( t 一丢) 2 ( t 一号) ( t 一,) 2 必整除妒( 班式( 9 ) 由定理1 及式( 6 ) ( 7 ) 得出证毕 当a 分别为吾兀,虿利i 2 丌时,妒( ) 的图形如图2 所示。披小。振幅披小 万方数据 第7 期储理才,等:圆弧的四次B z i e r 曲线逼近 x 1 0 8 乱 。眵8 1 图2 口分别为詈丌,号,吾丌时妒( ) 的图形 由廿( f ) 的表达式直接计算即得如下推论 推论2 妒( ) 分别在e t ,已处取得最大值妒。,= 愚,A ( a ) 和最小值C m ;。= k 2 A ( a ) ,其中 亭,2 而1 ( z o 一、饥万一面) , 已2 南( 2 0 一雨+ 丌) ; 是1 一5 0 0 5 3 + 9 5 4 8 92 v 俪,1 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 5 3 9 5 4 8 9 。硒 如一1 而丽丽一5 A 1 ( 口) = 2 0 8 + 1 7 c o s 口- - 2 0 0 c o s 要, A z ( 口) - - 2 5 c o s + 5 c 。s 鲁) 1 8 2 + 1 8 c 。s 号, ( A 1 ( 口) - - A 2 ( 口) ) s i n 8 A ( 口) 2 石再瓦磊五广二 定理3 圆弧q 和四次B 6 z i e r 逼近曲线b 间的 H a u s d o r f f 距离 d H ( 口,6 ) = “丽一l ( 1 0 ) 证明当0 a 0 , 妒 ( 五l - - k 2 ) 2 A ( ,r ) ( 矗1 - - k 2 ) 2 A ( 口) 成立于是有 8 ( 妒。+ 驴面。) ( 妒。,一妒I n i 。) 2 ( 1 1 ) 由此可证明 颤丽一1 1 一“丽( 1 2 ) 实际上,要证明式( 1 2 ) ,只需证明瓦珂+ 瓦而 2 将该式两边平方,整理得 灿,+ 妒。+ 2 娟i 干瓦了丽函丽 2 f 移项后再两边平方,得 4 ( 驴。+ 妒女+ 妒。,妒。+ 1 ) ( 2 一妒。一妒。) 2 (
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