甯1杩炵画绾︽潫鐨凚茅zier鏇茬嚎鏄惧紡鏈€浣抽檷澶氶樁.pdf

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第2 2 卷第4 期计算机辅助设计与图形学学报v 0 1 2 2N o 4 2 0 1 0 年4 月 J o u r n a lo fC o m p u t e r A i d e dD e s i g n & C o m p u t e rG r a p h i c s A p r 2 0 1 0 带G 1 连续约束的B z i e r 曲线显式最佳降多阶 周联1 ,王国瑾1 l ( 浙江大学数学系计算机图象图形研究所杭州3 1 0 0 2 7 ) 2 ( 浙江大学C A D8 LC G 国家重点实验室杭州 3 1 0 0 2 7 ) ( 办o u l i a 5 7 2 9 1 6 3 c o m ) 摘 要:为了克服已有B 亡z i e r 曲线降阶算法在保G 1 连续约束条件下仅给出数值解的缺陷,提出一种B 毛z i e r 曲线在 端点处保G 1 连续的最佳显式降阶算法在求解以逼近误差为目标函数的最小化问题过程中,首先给出了B e r n s t e i n 多项式在两端点保高阶几何连续条件下降阶的最佳显式解;其次给出了z i e r 曲线在两端点处保G 1 连续条件下降 阶的最佳显式解;最后给出了降阶曲线的控制顶点和逼近误差的2 个显式矩阵表示数值实例结果表明,文中算法 比其他算法的精度高、效率高 关键词:脆z j e r 曲线;降阶;几何连续;矩阵表示 中图法分类号:T P 3 9 1 M a t r i xR e p r e s e n t a t i o nf o rO p t i m a lM u l t i d e g r e eR e d u c t i o no fB z i e rC u r V e sw i t h G 1C o n s t r a i n t s Z h o uL i a n l 2 a n dW a n gG u o j i n l 2 ( J 5 m 越拓o ,C D ,l 户“f P rG ,4 户 f f 口竹dJ 打m g eP r D c e s s i n g ,D c 户4 以m 聊to ,M a f P m 口f i f j ,Z 巧i 鲫gU h f w 邝f f y ,H n 行g 柚。钟 3 1 0 0 2 7 ) 2 ( S n 础K 叫L 口6 D r 口o 删矿C A D & o G ,孙巧缸疗g 踟i 钾r s i 毋,H 口n g 柚o “ 3 1 0 0 2 7 ) A b s t r a c t :T h ee x i s t i n ga l g o r i t h m sf o rm u l t i d e g r e er e d u c t i o no fB 6 z i e rc u r v e sw i t hG 1c o n s t r a i n t so n l y p r o v i d en u m e r i c a ls o l u t i o n s T oo v e r c o m et h i sf l a w ,a na l g o r i t h mf o ro p t i m a l d e g r e er e d u c t i o no f B 6 z i e rc u r v e sw i t hG 1c o n s t r a i n t sa tt h ee n d p o i n t si sp r e s e n t e d B yt a k i n gt h ea p p r o x i m a t i o ne r r o ra s t h eo b je c t i v ef u n c t i o na n dm i n i m i z i n gt h i sf u n c t i o n , t h eo p t i m a le x p l i c i ts o l u t i o nt om u l t i d e g r e e r e d u c t i o no fB e r n s t e i np o l y n o m i a l sw i t hh i g h - o r d e rc o n t i n u i t ya tt h et w oe n d p o i n t si sg i V e n A n dt h e n t h eo p t i m a le x p l i c i ts o l u t i o nt o m u l t i d e g r e er e d u c t i o no fB z i e r c u r v e sw i t hG 1c o n s t r a i n t si sa l s o g i v e n T h ec o n t r o lp o i n t so ft h ed e g r e er e d u c e dc u r v e sa n dt h ea p p r o x i m a t i o ne r r o ra r ed e r i v e df r o m t w om a t r i xr e p r e s e n t a t i o n sr e s p e c t i v e l y N u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o di sm o r e p r e c i s ea n de f f i c i e n tc o m p a r i n gt op r e v i o u sm e t h o d s 1 【e yw o r d s :B 6 z i e rc u r v e s ;d e g r e er e d u c t i o n ;g e o m e t r i cc o n t i n u i t y ;m a t r i xr e p r e s e n t a t i o n & z i e r 曲线曲面是C A G D 中的重要研究对象1 。 为了不同造型系统间的数据交换和存储,以及方便 曲线曲面的求交、绘制和光顺处理,往往需要对曲线 曲面作降阶逼近因此,降阶逼近一直是C A G D 领 域中的一个热门研究课题 关于B z i e r 曲线的降阶研究方法已经非常丰 富,主要有两大类:侧重于控制顶点逼近的几何方 法z 川和侧重于基变换的代数方法8 小 张量积 B z i e r 曲面1 2 舶3 和三角B 6 z i e r 曲面渺1 9 3 的降阶逼近 也大多是基于这2 类方法,但这些传统上的降阶方法 收稿日期:2 0 0 9 一0 4 一0 3 I 修回日期;2 0 0 9 一0 8 一0 6 基金项目:国家自然科学基金( 6 0 8 7 3 1 1 1 ,6 0 9 3 3 0 0 7 ) 周联( 1 9 8 2 一) t 男博士研究生,主 要研究方向为C A G D & c G ;王国瑾( 1 9 4 4 一) ,男,教授博士生导师,主要研究方向为c A G D 、计算机图像图形处理、数字几何处理、离散微分几 何等( w a n g g j 动u e d u c 1 1 ) 万方数据 7 3 6计算机辅助设计与图形学学报 第2 2 卷 都是基于曲线端点或曲面边界的保参数连续约束条 件就逼近误差而言,基于几何连续约束的降阶方法 要优于传统的基于参数连续约束的降阶方法这是 由于前者能提供更多的自由度,即约束更为松弛,如 保G 1 连续约束比保C 1 连续约束多2 个自由参数文 献 2 0 首次给出了对B z i e r 曲线保端点几何连续 的降阶算法,但其中只给出了一种数值解法,并没有 给出显式解 文献 2 1 利用分而治之的思想,给出了B z i e r 曲线在2 个端点处保( r ,s ) 阶参数连续约束的最佳 降阶算法,所得到的降阶曲线的控制顶点和逼近误 差均为矩阵表示 本文基于文献 2 1 所得到的逼近误差,提出了 保曲线端点几何约束的一个新的目标函数首先给 出了一个B e r n s t e i n 多项式在2 个端点处保( r ,s ) 阶 几何连续的最佳显式降多阶算法进一步,在B 毛z i e r 曲线保端点G l 连续的约束条件下,我们发现这个目 标函数其实是一个关于由G l 连续约束所产生的2 个 自由参数为变量的二元二次多项式函数通过给出这 个目标函数的最优解的显式表示,我们最终给出了降 阶曲线的控制顶点和逼近误差的2 个矩阵表示 1预备知识 1 1 问题描述 咒次& z i e r 曲线可表示为 P ( ) = B 。( P j ) T ( 1 ) 其中,只= ( p o ,p 1 ,p 。) ,曰。= ( B g ( f ) ,B T ( ) , B :( ) ) ,聊( ) 为B e r n s t e i n 多项式基函数 L :范数下曲线P ( ) 的最佳降竹一优阶,是指找 一条控制顶点为 口,) 冬。的优次B 6 z i e r 曲线Q ( ) , 使得 0P ( ) 一Q ( ) | | L ,一m i n ( 2 ) 实际应用中,往往需要使Q ( ) 与P ( ) 在2 个端 点满足一定的约束条件,如参数连续约束或几何连 续约束降阶曲线Q ( ) 与原曲线P ( ) 在2 个端点处 保持预先给定的( ,s ) 阶参数连续,即存在非负整数 r ,s ,使得 P “( 0 ) = Q ( O ) ,最= O ,1 ,r ( 3 ) P ( D ( 1 ) = Q “( 1 ) ,Z = O ,1 ,s ( 4 ) 本文将基于文献 2 1 给出几何连续约束条件下 的最佳显式降阶算法下面给出曲线几何连续性的 一个等价定义 引理l 22 1 曲线P ( ) 和Q ( f ) 在2 个端点处分别 保( r ,s ) 阶几何连续的充要条件是,存在一个参数变 换f = f ( f ) ,且f7 ( 0 ) O ,f7 ( 1 ) O ,使得 ( d i P ( ) d f ) I 。,o 一( d Q ( i ( ) ) d ) I ;。o , i = O ,1 ,r ( 5 ) ( d P ( f ) d ) I 。1 一( d Q ( f ( ) ) d ) I 。1 , _ = O ,1 ,s ( 6 ) 1 2 保端点高阶参数连续的最佳曲线降阶算法 文献 2 1 把在2 个端点处保高阶参数连续的 B 亡z i e r 曲线最佳降多阶问题分解为2 个简单问题: 仅有端点高阶插值但无需降阶,以及无需端点插值 的最佳降多阶;进一步再把后者转化为J a c o b i 多项 式的降多阶,从而利用J a c o b i 多项式的正交性以及 不等精度测量的线性参数最小二乘原理,轻松地求 得了最佳解文献 2 1 的结果描述如下: 首先记在2 个端点处保( r ,s ) 阶参数连续的降 阶曲线Q ( ) 的控制顶点分别为 画。= ( 口o ,口1 ,眼,口,D ,如一,鼋辨一,+ I ,) , Q 。= ( 玑+ l ,曩,+ 2 ,叮辨十” 根据约束条件式( 3 ) ( 4 ) ,容易得到m 3 ( 口o ,口1 ,g r ) = ( p o ,P 1 ,p ,) M ( ,+ 1 ) ( ,+ l 】, ( I g m 一。,窖艇一,+ l ,口m ) = ( P 州,P 州+ 1 ,P 。) N ( ,+ l ,( 1 十1 ) ; 其中, f o of a ,L f e r OJ f l ,。厂, 0 O , f 。一s 。一1 0 O 一1 J f 二一,+ l ,。一,厂。一,+ l 。一,+ l O ; f m 。一| m 一| + 。f 。 凡一( W = ) 化) 引入端点约束矩阵 日:严+ 1 ( r + 1 川一一,玑一 “J + l 1 , 、O ( - r ,+ 1 ) ,吼,+
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